En el mundo de las matemáticas existen algunas operaciones que causan confusión y que, en la práctica, pueden llevar a resultados extraños y diversos (aparentemente correctos), cuando lo cierto es que, en el caso que corresponda, solamente debe existir una única respuesta. Analicemos la siguiente operación matemática, aparentemente simple, pero que provoca discusiones en los círculos académicos, y veamos su relación con el estudio del idioma español: 12 ÷ 3 × 2.

La expresión aritmética 12 ÷ 3 × 2¹ parece, a simple vista, un ejercicio trivial, de esos que se proponen en los primeros años de escolaridad. [Nota: Recomendamos que pare su lectura del artículo aquí por un momento y trate de resolver esa operación matemática. Después, continúe leyendo el análisis del caso aquí pautado]. Expresiones matemáticas ambiguas usan un lenguaje confuso que afecta el entendimiento, la comprensión y la asimilación de los estudiantes. «¿Es o no es? Ese es el dilema».

Observe que esta simple combinación de números y operaciones esconde una trampa conceptual que ha generado debates acalorados en las aulas, foros en línea e incluso entre profesores de matemáticas [Verne, 2019]. Dependiendo del orden en que se realicen las operaciones, se pueden obtener dos resultados distintos:

• 12 ÷ 3 × 2 = 8 (si se realiza primero la división: 12 ÷ 3 = 4; 4 × 2 = 8, de izquierda a derecha)
• 12 ÷ 3 × 2 = 2 (si se prioriza la multiplicación: 3 × 2 = 6; 12 ÷ 6 = 2, de derecha a izquierda).

Esta aparente ambigüedad no es un defecto de los números, sino un reflejo de una característica fundamental del lenguaje matemático: la perfección de las matemáticas se rige generalmente por convenciones y no por verdades absolutas [Cajori, 1928-1929]. La operación de cálculo referenciada arriba pone en duda la consistencia de las matemáticas; esa perfección y dogmatismo que siempre se enseña con rigidez en las escuelas («Es así porque es así y, punto»). Como si las matemáticas fuesen filosofías incuestionables que solamente deben ser obedecidas ciegamente, sin que la persona tenga la oportunidad de razonar y comprender por qué está operando de una forma u otra. Esa dureza e inflexibilidad es uno de los factores que hacen que los estudiantes se estremezcan de miedo cuando les hablan de números y cálculos.

El cálculo de 12 ÷ 3 × 2 muestra que el núcleo de la cuestión reside en la regla del orden de las operaciones, una convención establecida a lo largo de los siglos para garantizar que una expresión matemática sea interpretada de forma unívoca por cualquier persona en el mundo.

La persistencia de la confusión en torno a expresiones como 12 ÷ 3 × 2 revela que esta convención, aunque establecida, no es intuitiva para todos, generando frustración y dudas que pueden minar la confianza de los estudiantes en su capacidad para manejar las matemáticas [Hodges, Knouse & Gupton, 2023].

Por ejemplo, ¿cómo puede considerarse que este tipo de operación de cálculo tiene el mismo nivel de importancia o jerarquía si tiene que resolverse de la izquierda a la derecha? ¿Qué impide que la división sea realizada primero que la multiplicación en este caso si tienen el mismo peso e importancia, o sea, de derecha para izquierda? ¿Por qué se convencionó de una forma y no de la otra? ¿Una forma de operar está correcta y la otra está errada si son del mismo grado de importancia? Estas preguntas generan serias dudas sobre las reglas, formas y estilos de resolver las fórmulas matemáticas. Dudas que confunden a los estudiantes en las escuelas y que raramente se enseñan con claridad.

Este fenómeno tiene implicaciones profundas en la enseñanza de la disciplina. La controversia en torno a un problema aparentemente simple puede desviar el foco del aprendizaje significativo hacia la memorización mecánica de reglas, sin que los alumnos comprendan el porqué de la existencia de esas convenciones. Los profesores se ven, a menudo, ante el desafío de explicar no solo el «cómo» se calcula, sino la propia naturaleza convencional del lenguaje matemático, un concepto abstracto que puede ser de difícil comprensión. La falta de una base sólida sobre cómo se establecen y comunican las convenciones puede llevar a prácticas pedagógicas que priorizan la respuesta correcta en detrimento del proceso de entendimiento, empobreciendo la experiencia educativa.

El lenguaje matemático ambiguo y su sintaxis

Es en este punto donde la relación de las matemáticas con la enseñanza del idioma español se vuelve particularmente relevante. Las matemáticas, como cualquier lengua, poseen una sintaxis, una gramática y un vocabulario propios que necesitan ser enseñados y aprendidos. La confusión generada por 12 ÷ 3 × 2 es análoga a las dificultades que un estudiante de español como lengua extranjera enfrenta al intentar comprender, por ejemplo, la diferencia entre el uso de la coma y el punto como separadores decimales en los países hispanohablantes [Real Academia Española, 2010]. En ambos casos, el alumno se topa con una convención arbitraria que necesita ser internalizada para que la comunicación sea eficaz [Hodges, Knouse & Gupton, 2023].

La comprensión de cómo la lingüística aplicada beneficia la enseñanza de idiomas, a través de la exploración de la naturaleza arbitraria y convencional de los signos lingüísticos, puede ofrecer un valioso paralelo para los educadores de matemáticas. Al reconocer que las reglas matemáticas son, en gran medida, herramientas de comunicación acordadas por la comunidad, los profesores pueden adoptar estrategias pedagógicas que contextualicen estas convenciones, explicando su origen histórico y su función en la prevención de ambigüedades. Este enfoque, que conecta las matemáticas con la historia y la lingüística, puede transformar un punto de tensión y confusión en una oportunidad para un aprendizaje más profundo y significativo, humanizando la disciplina y mostrando que, detrás de los números, hay siglos de desarrollo intelectual y acuerdos culturales que han moldeado la forma en que nos comunicamos matemáticamente hasta hoy.

El caso que está siendo aquí analizado como modelo de estudio toca la historia y la naturaleza de las convenciones matemáticas. A diferencia de un teorema que puede demostrarse, la regla del orden de las operaciones (resolver multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha) es una «convención» establecida para que todos podamos interpretar una expresión de la misma manera, evitando ambigüedades (Cajori, 1928-1929). Entonces, la cuestión aquí es evitar las ambigüedades matemáticas y hasta lingüísticas.

Ejemplos de operaciones matemáticas ambiguas

Aquí hay 5 ejemplos de operaciones matemáticas que pueden ser consideradas por las personas como ambiguas, sea por causa de la falta de paréntesis o por la ausencia de convenciones claras, lo que puede llevar a diferentes interpretaciones y resultados. No se está juzgando si el cálculo está errado o no, o si se debe operar de una forma específica o de otra. Simplemente es la forma como los números y cálculos se proyectan en las mentes de los individuos:

8 ÷ 2(2+2)

· Interpretación 1: Se realiza la división primero, luego la multiplicación implícita: (8 ÷ 2) × (2+2) = 4 × 4 = 16.
· Interpretación 2: Se prioriza la multiplicación implícita sobre la división: 8 ÷ [2 × (2+2)] = 8 ÷ 8 = 1.

1/2x

· Interpretación 1: Se lee como (1/2) × x, es decir, la mitad de x.
· Interpretación 2: Se lee como 1/(2x), es decir, el inverso del doble de x.

2^3^4

· Interpretación 1: Asociación por la izquierda: (2^3)^4 = 8^4 = 4096.
· Interpretación 2: Asociación por la derecha (común en matemáticas): 2^(3^4) = 2^81 ≈ 2.42 × 10^24.

a/b/c

· Interpretación 1: División sucesiva por la izquierda: (a/b)/c = a/(b × c).
· Interpretación 2: División sucesiva por la derecha: a/(b/c) = (a × c)/b.

$-3^2$

· Interpretación 1: Aplicar el exponente antes que el signo negativo: -(3^2) = -9.
· Interpretación 2: Considerar el signo como parte de la base: (-3)^2 = 9.

Estos ejemplos ilustran la importancia de usar paréntesis para evitar ambigüedades en las expresiones matemáticas, pero no siempre el paréntesis resuelve el dolor de cabeza del cálculo, lo que puede inducir a errores. Por lo visto, la regla de que debe resolverse de izquierda para derecha también entra en una situación conflictante. Algunos casos dejan en duda la aplicación de la «regla» de la derecha a la izquierda o de que esto debe ser hecho primero que aquello porque es la «regla». Parece que esa cuestión de reglas no sirve siempre para resolver problemas matemáticos.

¿Quién, cómo y cuándo?: la consolidación de una regla desconocida por los estudiantes

Abordemos la siguiente pregunta intrigante: ¿Quién estableció esta regla de la multiplicación y la división, de que los cálculos debían ser hechos de izquierda a derecha para símbolos del mismo nivel operativo? ¿Cuándo, dónde y por qué fue establecida esta regla? Inicialmente, puede decirse que no hay un único «padre» de la regla, ya que se desarrolló a lo largo de siglos. Sin embargo, podemos trazar su formalización a través de varios hitos importantes:

• Siglo XVI: Los primeros libros sobre álgebra simbólica ya utilizaban un orden implícito para las operaciones, que es la base de nuestra regla actual.
• Finales del siglo XVIII: Historiadores señalan que fue en este período cuando el orden de las operaciones, tal como lo conocemos hoy, probablemente comenzó a formalizarse.
• 1907: En el libro High School Algebra, Elementary Course (autores: Slaught y Lennes), ya se recomendaba explícitamente que las multiplicaciones y divisiones se realizaran en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha (Slaught & Lennes, 1907).
• 1912: First Year Algebra (autores: Webster Wells y Walter W. Hart) también recomendaba que todas las multiplicaciones y divisiones se hicieran primero, en el orden de izquierda a derecha, seguidas por las sumas y restas (Wells & Hart, 1912).
• 1917: The Report of the Committee on the Teaching of Arithmetic in Public Schools (Informe del Comité para la Enseñanza de la Aritmética en Escuelas Públicas), publicado en el Mathematical Gazette (Reino Unido), recomendaba el uso de corchetes para evitar ambigüedades, lo que evidencia la preocupación por la claridad de las expresiones (Committee, 1917).
• 1928-1929: El renombrado historiador matemático Florian Cajori, en su obra A History of Mathematical Notations (Una historia de las notaciones matemáticas), observó que, en esa época, aún no existía un acuerdo universal sobre la precedencia entre los signos de división (÷) y multiplicación (×) (Cajori, 1928-1929).

La regla se consolidó principalmente a través de los libros de texto, especialmente en Estados Unidos, durante principios del siglo XX (Slaught & Lennes, 1907; Wells & Hart, 1912). La necesidad de una comunicación clara y sin ambigüedades en áreas como la ciencia, la ingeniería y las finanzas hizo que esta estandarización fuera esencial.

Es importante entender que la regla «multiplicación y división de izquierda a derecha» es una convención, una especie de «ley» que los matemáticos acordaron seguir, similar a la convención de que la luz roja en un semáforo significa «detenerse». No es una verdad matemática innata, sino una herramienta para garantizar que, en todo el mundo, lleguemos al mismo resultado al calcular 12 ÷ 2 × 3.

La relación del lenguaje matemático con la lengua española

La relación entre esta regla matemática y el idioma español es fascinante y se manifiesta en al menos tres aspectos clave: la adopción de la regla, las particularidades de la notación decimal y la influencia en el lenguaje pedagógico.

1. Adopción y enseñanza en el mundo hispanohablante: La convención de izquierda a derecha para operaciones de igual jerarquía no es exclusiva del mundo anglosajón. Los países de habla hispana adoptaron esta misma regla como parte del lenguaje matemático universal. En la actualidad, todos los libros de texto y materiales educativos en español, desde la educación primaria hasta la universidad, enseñan explícitamente este orden. Por ejemplo, recursos educativos como los de la plataforma LibreTexts en español establecen claramente: «Realizar todas las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparezcan en la expresión, moviéndose de izquierda a derecha».
2. La cuestión del separador decimal: Este es un punto de divergencia lingüística. Aquí encontramos una diferencia crucial. Mientras que la regla de «izquierda a derecha» es universal, el símbolo utilizado para separar la parte entera de la decimal en un número varía según la región lingüística. Esta diferencia, aunque no afecta la regla de orden de las operaciones, es una parte fundamental de la escritura matemática en cada idioma que, por cierto, aún no fue resuelta definitivamente, por el hecho de que existen diversos convencionalismos.
   – El mundo anglosajón (y las recomendaciones internacionales para la unificación) utiliza el punto (por ejemplo, 12.5).
   – El mundo hispanohablante tiene una tradición más diversa. La Real Academia Española (RAE), en su Ortografía de la lengua española (2010), recomienda el uso del punto como separador decimal para promover un proceso de unificación internacional. Sin embargo, la propia RAE acepta como válido el uso de la coma, que fue el signo que recomendó durante muchos años y que sigue siendo de uso común en muchos países, como lo recoge el Diccionario panhispánico de dudas (2005).
   – Esta dualidad es un excelente ejemplo de cómo una convención matemática (el sistema de numeración decimal) interactúa con las convenciones puramente lingüísticas y culturales de cada país. Hoy en día, en España, por ejemplo, el uso de la coma es oficial desde 2010, mientras que en países como México o Estados Unidos se emplea el punto. Esta variación no cambia el resultado de 12 ÷ 2 × 3, pero sí cambia la forma de escribir «12.5» o «12,5».
3. El lenguaje mnemotécnico y la ambigüedad: En español, al igual que en inglés, se utilizan reglas mnemotécnicas para recordar el orden de las operaciones. El acrónimo más común en el mundo anglosajón es PEMDAS² (Paréntesis, Exponentes, Multiplicación y División, Adición y Sustracción). En el mundo hispanohablante, aunque no existe un acrónimo único tan estandarizado, se enseña el mismo concepto con frases como «Papá, Mamá, Hermana, Tío» o simplemente se explica la jerarquía sin un acrónimo. El artículo de Verne de El País destaca cómo la ambigüedad en expresiones como 8 ÷ 2(2+2) genera debates virales, y señala que, aunque la regla es clara, la interpretación puede verse afectada por la ausencia de un signo de multiplicación explícito, algo que en contextos algebraicos (con letras) se interpreta de una manera y puede llevar a confusiones en aritmética. Esta discusión sobre la «lectura» de la expresión es, en sí misma, un problema lingüístico aplicado a las matemáticas.

En resumen: la regla que se usa hoy no fue creada por una única persona en un solo día, sino que fue siendo formalizada y estandarizada en los libros de texto de finales del siglo XIX y principios del siglo XX, principalmente en Estados Unidos e Inglaterra, como una convención para unificar el lenguaje matemático. Su relación con el español radica en su adopción universal en la enseñanza, en la particularidad del uso de la coma o el punto decimal como reflejo de la norma lingüística de cada país hispanohablante, y en los debates sobre la interpretación de expresiones que tienen un claro componente de «lectura» y sintaxis matemática.

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Referencias

• Cajori, F. (1928-1929). A History of Mathematical Notations (Vols. 1-2). The Open Court Publishing Company.
• Committee on the Teaching of Arithmetic in Public Schools. (1917). The Report of the Committee on the Teaching of Arithmetic in Public Schools. The Mathematical Gazette, 9(128), 49-58.
• Slaught, H. E., & Lennes, N. J. (1907). High School Algebra, Elementary Course. Allyn and Bacon.
• Wells, W., & Hart, W. W. (1912). First Year Algebra. D.C. Heath & Co.
• LibreTexts. (2021). 1.2: Orden de Operaciones. En Álgebra Elemental. Recuperado de https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Algebra/Libro%3A_Algebra_elemental_(Arnold)/01%3A_La_aritm%C3%A9tica_de_los_n%C3%BAmeros/1.02%3A_Orden_de_Operaciones
• Wikipedia. (2026). Separador decimal. Recuperado de https://es.wikipedia.org/wiki/Separador_decimal
• Verne (El País). (2019, 5 de agosto). El orden de las operaciones sí altera el resultado: cómo resolver problemas de mates virales. Recuperado de https://verne.elpais.com/verne/2019/08/05/articulo/1565011638_839872.html
• Teachy. (2024). Operaciones: Orden de las Operaciones [Resumen de contenido, Método Cornell]. Recuperado de https://teachy.ai/es/resumenes/educacion-primaria/primaria-6-grado/matematicas-a-espanol/operaciones-orden-de-las-operaciones-or-resumen-de-contenido-metodo-cornell

1. Para una consideración sobre las discusiones originadas por este cálculo matemático, vea las siguientes publicaciones: https://youtu.be/PvYjuR7Zuwo?si=FZqAlCLctJ4dTJp0; https://youtu.be/41uxNzGfmLY?si=r5Le7Lq6rUAW4Kx3; https://www.youtube.com/live/8rQ5dW1D234?si=RB7zIeFVkEtQSJeI ↩︎
2. Así como el PEMDAS, existe el BODMAS. El acrónimo BODMAS es una regla mnemotécnica ampliamente utilizada por niños en países como Inglaterra, India, Bangladés y Australia para recordar el orden de las operaciones en matemáticas. Sus siglas representan los pasos a seguir: primero los corchetes (brackets), luego los exponentes (order), seguidos de división y multiplicación, y finalmente adición y sustracción. Aunque el término «order» para referirse a los exponentes puede resultar confuso incluso para los hablantes nativos, por lo que a menudo se encuentra la variante BIDMAS, donde la «I» sustituye a la «O» para indicar índices, haciendo más intuitiva la referencia a las potencias o raíces (cf. Verne, 2019). ↩︎